Regular na polyhedra: mga elemento ng mahusay na proporsyon at lugar

Geometry ay maganda dahil, hindi tulad ng algebra, na kung saan ay hindi laging malinaw kung bakit at kung ano ang palagay mo, ay nagbibigay ng isang visual na object. Ang kahanga-hangang mundo ng mga iba't-ibang mga katawan adorno ang regular na polyhedra.

Pangkalahatang impormasyon sa mga regular na polyhedra

Ayon sa marami, regular polyhedrons, o bilang ito ay tinatawag na mababaw solids, nagtataglay natatanging katangian. Sa pamamagitan ng mga bagay na konektado ang ilang mga pang-agham pagpapalagay. Kapag sinimulan mo upang pag-aralan ang geometric data ng katawan, natanto na halos hindi alam kung anumang bagay tungkol sa tulad ng isang konsepto tulad ng mga regular na polyhedra. Ang pagtatanghal ng mga bagay na ito sa paaralan ay hindi palaging kawili-wili, kaya maraming mga hindi kahit na matandaan kung ano ang kanilang tinatawag na. Sa memorya ng karamihan sa mga tao na ito ay lamang ng isang kubo. Wala sa katawan geometry ay hindi nagtataglay ng gayong pagiging perpekto bilang mga regular polyhedrons. Ang lahat ng mga pangalan ng mga geometric katawan nagmula sa sinaunang Greece. Sila ay kumakatawan sa bilang ng mga mukha: apsulok - apat na panig, hexahedron - Allen, octahedron - may walong sulok, dodekahidron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Ang lahat ng mga geometric katawan occupies isang mahalagang lugar sa Plato ng kuru-kuro ng uniberso. Apat sa mga ito ay nakapaloob elemento o mga nilalang: ang apsulok - ang apoy, ang icosahedron - water cube - lupa, octahedron - hangin. Dodekahidron katawanin ang lahat ng bagay. Siya ay itinuturing na ang pangunahing, bilang isang simbolo ng uniberso.

Ang kalahatan ng ang konsepto ng isang polyhedron

Polyhedron ay isang may hangganan koleksyon ng mga polygon tulad na:

• bawat isa sa mga panig ng alinman sa mga polygon ay sa parehong oras lamang ng isang bahagi ng isa pang polygon sa parehong panig;
• mula sa bawat isa sa mga polygon pwede kang maglakad sa isa sa pamamagitan ng pagpasa sa katabing ipinapatupad dito polygon.

Polygon constituting ang polyhedron ay kumakatawan sa kanyang mga mukha at ang kanilang mga side - buto-buto. polyhedra vertices ay ang vertices ng polygon. Kung ang terminong polygon maunawaan flat sarado polylines, at pagkatapos ay dumating sa isang kahulugan ng isang polyhedron. Sa kaso kung saan sa pamamagitan ng term na ito ay sinadya ng isang bahagi ng eroplano na ay bounded sa pamamagitan ng nasira mga linya, ito ay naiintindihan na ibabaw na binubuo ng binalimbing mga piraso. Matambok polyhedron ay tinatawag na ang katawan nakahiga sa isang gilid ng eroplano, na katabi ng kanyang mukha.

Ang isa pang kahulugan ng isang polyhedron at mga elemento nito

Polyhedron na tinatawag na ibabaw na binubuo ng mga polygon, na limitasyon ang geometric katawan. Ang mga ito ay:

• non-umbok;
• matambok (tama at mali).

Regular na polyhedron - ay isang matambok polyhedron na may pinakamataas na mahusay na proporsyon. Mga elemento ng regular na polyhedra:

• Tetrahedron: 6 mga buto-buto 4 mga mukha 5 vertices;
• hexahedron (kubo) 12, 6, 8;
• dodekahidron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

ni Euler teorama

Ito ay nagtatatag ng isang relasyon sa pagitan ng bilang ng mga gilid, vertex at mukha ay topologically katumbas ng isang globo. Ang pagdaragdag ng bilang ng mga vertices at mukha (B + D) ay may iba't ibang mga regular na polyhedra at paghahambing ng mga ito sa bilang ng mga buto-buto, ito ay posible upang magtakda ng isang panuntunan: ang kabuuan ng bilang ng mga mukha katumbas ng bilang ng mga vertex at mga gilid (P) nadagdagan ng 2. Ito ay posible upang makakuha ng isang simpleng formula:

• B + D = P + 2.

Ang formula na ito ay may-bisa para sa lahat matambok polyhedra.

pangunahing mga kahulugan

Ang konsepto ng isang regular na polyhedron ay imposible upang ilarawan sa isang pangungusap. Ito ay higit na nagkakahalaga at dami. Ang isang katawan na kinikilala bilang tulad, ito ay kinakailangan na ito ay nakakatugon sa isang bilang ng mga kahulugan. Samakatuwid, ang isang geometric katawan ay magiging isang regular na polyhedron kapag ang mga kondisyon ay nakamit:

• ito ay matambok;
• ang parehong bilang ng mga buto-buto converges sa bawat isa sa kanyang vertices;
• ang lahat ng mga facet ng kanyang - regular na polygon, pantay-pantay sa bawat isa;
• Lahat ng dihedral angles ay pantay.

Mga Katangian ng mga regular na polyhedra

May 5 iba't ibang mga uri ng mga regular na polyhedra:

1. Cube (hexahedron) - ito ay may flat tugatog anggulo ay 90 °. Ito ay may isang 3-sided anggulo. Halaga mukha anggulo sa tuktok ng 270 °.
2. Apsulok - flat tugatog anggulo ng - 60 °. Ito ay may isang 3-sided anggulo. Halaga mukha anggulo sa tuktok - 180 °.
3. Octahedron - flat tugatog anggulo ng - 60 °. Ito ay may isang four-sided anggulo. Halaga mukha anggulo sa tuktok - 240 °.
4. Dodekahidron - isang flat tugatog anggulo ng 108 °. Ito ay may isang 3-sided anggulo. Halaga mukha anggulo sa tuktok - 324 °.
5. Icosahedron - ito ay may flat tugatog anggulo ng - 60 °. Ito ay may isang limang-panig na anggulo. Halaga mukha anggulo sa tuktok ng 300 °.

Ang lugar ng mga regular na polyhedra

Ang ibabaw na lugar ng heometriko mga katawan (S) ay kinakalkula bilang isang regular na lugar ng polygon multiply sa bilang ng mga facet (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

Ang lakas ng tunog ng isang regular na polyhedron

Ang halagang ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagpaparami ng lakas ng tunog ng isang regular na pyramid na ang base ay isang regular na polygon, ang bilang ng mga mukha, at ang taas ay inscribed radius ng globo (r):

• V = 1: 3Rs.

Volume ng mga regular na polyhedra

Tulad ng anumang iba pang mga geometric solid, regular na polyhedra ay may iba't ibang volume. Nasa ibaba ang mga formula sa pamamagitan ng kung saan maaari nilang kalkulahin ang:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (kubo): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekahidron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Mga elemento ng regular na polyhedra

Hexahedron at octahedron ay dual geometric katawan. Sa ibang salita, maaari silang makakuha ng out ng bawat isa sa pangyayari na ang centroid ng isa ay kinuha bilang ang tuktok ng isa, at vice versa. Rin ang dual icosahedron at dodekahidron. Kanyang sarili lamang apsulok ay dalawahan. Ayon sa paraan ng Euclid ay maaaring makuha mula sa isang dodekahidron hexahedron sa pamamagitan ng paggawa "na gawa sa pawid" sa mga mukha ng kubo. Ang vertices ng apsulok anumang 4 vertices ng kubo, hindi katabi pares sa kahabaan ng gilid. Mula hexahedron (kubo) ay maaaring makuha, at iba pang mga regular na polyhedra. Sa kabila ng ang katunayan na ang mga regular na polygon diyan ay hindi mabilang, regular na polyhedra, may mga 5 lamang.

Ang radii ng mga regular na polygon

Sa bawat isa sa mga geometric katawan ay konektado concentric spheres 3:

• inilarawan ang pagpasa sa pamamagitan ng mga vertices;
• inscribed tungkol sa bawat isa sa kanyang mga mukha sa gitna ng mga ito;
• panggitna may kinalaman sa lahat ng mga gilid sa gitna.

Ang radius ng globo inilarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na formula ay kinakalkula sa:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Ang radius ng inscribed globo ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

• R = a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

kung saan θ - dihedral anggulo na kung saan ay sa pagitan ng katabi facets.

Ang panggitna radius ng globo maaaring kalkulahin gamit ang mga sumusunod na formula:

• ρ = a cos π / p: 2 kasalanan π / h,

kung saan ang h = ang magnitude ng 4.6, 6.10, o 10. Ang ratio ng radii ng inscribed inilarawan at symmetrically may paggalang sa p at q. Ito ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Ang mahusay na proporsyon ng polyhedra

Ang mahusay na proporsyon ng mga regular na polyhedra ay mga pangunahing interes sa mga geometric katawan. Ito ay nauunawaan bilang isang kilusan ng katawan sa espasyo, na kung saan ay umalis sa parehong bilang ng mga vertex, mukha at gilid. Sa ibang salita, sa ilalim ng impluwensiya ng symmetry transformations gilid, vertex, o mukha napapanatili sa orihinal nitong posisyon, o gumagalaw sa home posisyon ng isa pang rib, ang iba pang mga vertex o mukha.

Mga elemento ng mahusay na proporsyon ng mga regular na polyhedra ay pangkaraniwan sa lahat ng mga uri ng geometric solids. Narito ito ay isinasagawa sa ang pagkakakilanlan pagbabagong-anyo, na nag-iiwan alinman sa mga punto sa orihinal na posisyon. Kaya, kapag binuksan mo ang binalimbing prism ay maaaring makakuha ng ilang mga symmetries. Alinman sa mga ito ay maaaring kinakatawan bilang produkto ng pagmuni-muni. Symmetry, kung saan ay ang produkto ng isang kahit na bilang ng mga reflections, na tinatawag na direct. Kung ito ay ang produkto ng isang kakaiba bilang ng mga reflections, pagkatapos ito ay tinatawag na feedback. Kaya, ang lahat ng mga liko sa paligid ng linya ay kumakatawan tuwid mahusay na proporsyon. Ang anumang reflection polyhedron - ay ang kabaligtaran mahusay na proporsyon.

Upang mas mahusay na maunawaan ang mga elemento mahusay na proporsyon ng mga regular na polyhedra, maaari mong gawin ang mga halimbawa ng apsulok. Anumang linya na pumasa sa pamamagitan ng isa sa mga vertices at sa gitna ng geometric na hugis, ay magdadala sa lugar, at sa pamamagitan ng gitna ng ang kabaligtaran gilid nito. Ang bawat isa sa mga liko 120 at 240 ° sa paligid ng linya ay kabilang sa mga plural tetrahedral mahusay na proporsyon. Dahil ito ng 4 na vertices at mukha, makakakuha tayo ng isang kabuuang walong direktang symmetries. Anumang ng mga linya na dumadaan sa gitna ng mga gilid at sa sentro ng katawan, ay lumalakad sa gitna ng ang kabaligtaran gilid. Anumang pag-ikot ng 180 °, na tinatawag na half-turn sa paligid ng isang tuwid na mahusay na proporsyon. Dahil ang apsulok ay may tatlong mga pares ng mga buto-buto, makakakuha ka ng tatlong linya ng mahusay na proporsyon. Base sa itaas, maaari naming tapusin na ang kabuuang bilang ng mga direktang symmetry, at kabilang ang identity pagbabagong-anyo, ay maaaring hanggang sa labindalawang. Iba pang mga direktang symmetry apsulok ay hindi umiiral, ngunit ito ay may 12 baligtarang mahusay na proporsyon. Bilang resulta, lamang ng 24 nailalarawan apsulok symmetries. Para sa kalinawan, maaari naming bumuo ng isang modelo ng isang regular na apsulok na gawa sa karton at tiyakin na ito ay ang geometric katawan talagang may lamang 24 mahusay na proporsyon.

Dodekahidron at icosahedron - pinakamalapit sa katawan area. Icosahedron may pinakamalaking bilang ng mga mukha, ang dihedral anggulo at higit sa lahat ay maaaring mahigpit na kumapit sa inscribed globo. Dodekahidron ay ang pinakamababang angular depekto pinakamalaking solid na anggulo sa kaitaasan. Maaari itong i-maximize upang punan ang circumscribed globo.

scanning polyhedra

Regular na polyhedra scan, na kung saan namin ang lahat ng natigil nang magkasama sa pagkabata, ay may isang pulutong ng mga konsepto. Kung may isang hanay ng mga polygon, ang bawat panig na kung saan ay makikilala na may lamang ng isang bahagi ng polyhedron, ang pagkakakilanlan ng mga partido ay dapat sumunod sa dalawang kundisyon:

• ng bawat polygon, maaari kang pumunta sa isang polygon sa pagkakaroon ng pagkakakilanlan ng mga gilid;
• na nakakapagpakilalang side dapat na may parehong haba.

Ito ay isang hanay ng mga polygon na matugunan ang mga kondisyon, at ito ay tinatawag na isang polyhedron scan. Ang bawat isa sa mga katawan ay may ilang ng mga ito. Halimbawa, ang isang kubo kung saan may mga 11 piraso.