Geometric paglala at pag-aari nito

Geometric paglala ay mahalaga sa matematika bilang agham, at inilapat kabuluhan, dahil ito ay may isang lubhang malawak na saklaw, kahit na sa mas mataas na matematika, halimbawa, sa teorya ng serye. Ang unang impormasyon sa pag-unlad ay dumating sa amin mula sa sinaunang Ehipto, lalo na sa anyo ng isang kilalang problema ng Rhind papirus pitong taong may pitong pusa. Pagkakaiba-iba ng mga gawain na ito ay paulit-ulit na maraming beses sa iba't ibang oras mula sa ibang bansa. Kahit na ang Velikiy Leonardo Pizansky, na kilala bilang Fibonacci (XIII c.), Nagsalita sa kanya sa kanyang "Aklat ng Abacus."

Upang ang mga geometric paglala ay isang sinaunang kasaysayan. Ito ay kumakatawan sa isang de-numerong pagkakasunud-sunod na may isang nonzero unang miyembro, at ang bawat kasunod na, na nagsisimula sa ang pangalawang ay natutukoy sa pamamagitan ng pag-multiply ang nakaraang pag-ulit formula sa isang pare-pareho, nonzero numero na ay tinatawag na denominator paglala (ito ay karaniwang itinalaga gamit ang titik q).
Malinaw na, maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng paghati sa bawat kasunod na kataga ng pagkakasunod-sunod sa nakaraang, ibig sabihin z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Bilang resulta, para sa karamihan ng paglala ng trabaho (zn) sapat na nakakaalam ng halaga ng unang termino ng denominator at y 1 q.

Halimbawa, sabihin z 1 = 7, q = - 4 (q <0), pagkatapos ay ang mga sumusunod na geometric paglala ay nakuha 7 - 28, 112-448, .... Tulad ng iyong nakikita, lilitaw sa pagkakasunod-sunod ay hindi walang pagbabago.

Alalahanin na ang isang arbitrary na pagkakasunod-sunod ng walang pag-iiba (pagtaas / pagbaba ng) kapag ang isa sa mga miyembro nito sundin ang higit pa / mas mababa kaysa sa nakaraang isa. Halimbawa, ang pagkakasunud-sunod 2, 5, 9, ..., at -10, -100, -1000, ... - Monotone, ang pangalawang isa - isang nagpapababa ng geometriko pagpapatuloy.

Sa kaso kung saan q = 1, lahat ng mga kasapi ay natagpuan na, at ito ay tinatawag na pare-pareho ang paglala.

Ang pagkakasunod-sunod ay ang paglala ng ganitong uri, dapat itong bigyang-kasiyahan ang mga sumusunod na kinakailangan at sapat na mga kondisyon, lalo: nagsisimula mula sa pangalawang, ang bawat isa sa mga miyembro nito ay dapat na ang geometriko ibig sabihin ng mga kalapit na mga miyembro.

Ang property na ito ay nagbibigay-daan sa ilalim ng ilang dalawang katabing paghahanap arbitrary matagalang pagpapatuloy.

n-th matagalang exponentially madaling matagpuan sa pamamagitan ng mga formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), z-alam muna miyembro 1 at ang denominator q.

Dahil ang numero ng pagkakasunod-sunod ay may sum, pagkatapos ng ilang simpleng mga kalkulasyon bigyan kami ng isang formula upang makalkula ang kabuuan ng unang paglala ng mga kasapi, lalo:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Pinapalitan, sa formula nito expression halaga zn z 1 * q ^ (n-1) upang makakuha ng isang pangalawang sum formula ng paglala: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Ay karapat-dapat ng pansin ang mga sumusunod na kawili-wiling katotohanan: ang clay tablet na natagpuan sa excavations ng sinaunang Babilonya, na kung saan ay tumutukoy sa VI. BC, ay naglalaman ng kapansin-pansin na paraan ang kabuuan ng 1 + 2 + ... + 22 + 29 katumbas ng 2 sa ika-sampung kapangyarihan minus 1. Ang paliwanag ng kababalaghan na ito ay hindi pa natagpuan.

Tandaan namin ang isa sa mga katangian ng geometric paglala - isang pare-pareho ang gawain ng mga kasapi nito, may pagitan sa pantay na distansya mula sa dulo ng pagkakasunod-sunod.

Ng mga partikular na kahalagahan mula sa isang pang-agham na punto ng view, tulad ng isang bagay bilang isang walang-katapusang geometriko paglala at pagkalkula ng halaga nito. Sa pagpapalagay na (yn) - isang geometric paglala pagkakaroon denominator q, nagbibigay-kasiyahan ang kundisyon | q | <1, halaga nito ay tinutukoy ang limitasyon patungo sa kung saan namin na malaman ang kabuuan ng kanyang unang mga miyembro, na may walang hanggan pagtaas ng n, at pagkatapos ay may sa ito papalapit na infinity.

Hanapin ang halagang ito bilang isang resulta ng paggamit ng formula:

S n = y 1 / (1- q).

At, tulad ng ipinakikita ng karanasan, para sa maliwanag pagiging simple ng paglala ito ay nakatago ang isang malaking potensyal na application. Halimbawa, kung kami ay makagawa ng isang pagkakasunod-sunod ng mga parisukat ayon sa mga sumusunod na algorithm, pagkonekta ang mga midpoints ng isang nakaraan, at pagkatapos ay bumubuo sila ng isang parisukat na walang katapusang geometriko paglala pagkakaroon ng isang denominator 1/2. Ang parehong paglala form at lugar ng triangles, nakuha sa bawat yugto ng konstruksiyon, at ang sum ay katumbas ng lugar ng orihinal na parisukat.